Racine carrée de 3

Le nombre « racine carrée de 3 » semble important dans les calculs d’aires et de volumes.

Et si par hasard nous pouvions nous travailler avec les volumes et les aires sans ce nombre ennuyeux PI, grâce à la racine carrée de 3 ?

Voici la valeur de la racine carrée de 3:

Décimal 1,7320508075688772935…
Binaire 1,1011101101100111101…
Hexadecimal 1,BB67AE8584CAA73B…
Fraction continue 1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{2 + \frac{1}{1 + \frac{1}{2 + \ldots}}}}      ou en abrégé: [1 ; 1, 2, 1, 2, 1, 2, 1, 2…]

Racine carrée de 3 dans un triangle:

Une autre relation, l’aire d’un triangle équilatéral:

Et si le triangle a des cotés de 1,  son aire est  3 /4                     (soit 0,4330127)

Racine carrée de 3 dans un hexagone:

L’aire d’un hexagone régulier de côté a est A=\frac{3\sqrt3}{2}a^2.

L’aire d’un hexagone régulier dont le cercle inscrit a pour rayon ri est A=2\sqrt{3}r_\mathrm{i}^2.

Donc pour notre cercle de diamètre 1, l’hexagone a une aire de 2 x 1,732050807568877 x 0,5

= 0,886025 = √3 / 2

Racine carrée de 3, relation entre un cercle et un triangle:

Et si on utilise un cercle de 1 de rayon (en préférant Tau à PI)

Un autre ratio intéressant: La somme des aires en rose est égale à l’aire en jaune du cercle inscrit:

Aire rose = Aire jaune

Alors on peut en déduire que l’aire de l’anneau en violet fait 3 fois l’aire du disque jaune.

Et le rayon du grand cercle est double de celui du petit cercle. Ex: le côté du triangle est a, le rayon du grand cercle est (3.a)/3, et le rayon du petit cercle est  (3.a)/6

Diamètre du cercle = ( Aire du triangle / Périmètre du triangle ) x 4

( Pour mémoire, l’aire d’un triangle équilatéral est  ou encore  )

Aire du triangle =  ( √3 x  √3² ) / 4  =  (√3 x 3 )/4 = ( 5,1961524 / 4 ) = 1,2990381

Alors périmètre du triangle = √3 x 3 = 5,1961524

Note: A chaque fois que l’on double de rayon d’un cercle, on quadruple son aire.

Aire du disque = PI x r² = 3.1416 x 0,25 = 0,7854

Un hexagone se décompose en 6 triangles équilatéraux ( et une étoile en 12 ):

Alors l’aire de l’hexagone qui circonscrit le cercle de diamètre 1 est ( √3 / 4 ) x  (√3² x 2 ) x 6 = 0,866025


Racine carrée de 3 dans un cube:

Voir sur le même sujet:

http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Nombre/Rac3.htm

La spirale des racines carrées. Le premier triangle fait 1 de large par 1 de haut:

Il est aussi intéressant de noter qu’on obtient une droite passant sur racine de 3 et racine de 11 (ci-dessous en rouge):

Rapports de volume entre un cône, un sphère et un cylindre de même rayon et hauteur

Les volumes d’un cône, d’une sphère et d’un cylindre de même rayon et de même hauteur sont dans un rapport de 1:2:3

Alors le volume du cylindre est 1,5 fois celui de la sphère de même diamètre et hauteur (découvert par le génie Archimède)

Et le volume d’un cône (fonctionne aussi avec une pyramide) = aire de la base x hauteur x 1/3

Une autre découverte du grand Archimède:

La surface latérale de n’importe quel segment de sphère s1 est égale à la surface latérale coupée du cylindre s2, s’ils ont les mêmes diamètres et hauteurs:

Ce qui entraîne que la surface d’une sphère est égale à l’aire externe (courbée) du cylindre :

Donc si nous avons une sphère de de 1 unité de diamètre, et que nous déroulons l’aire courbée du cylindre, nous obtenons un rectangle de 1 x PI. Ce qui signifie l’aire de la sphère est PI.

Archimède a aussi découvert ceci: Si vous dessinez une spirale d’un tour, avec des incréments réguliers, l’aire de la spirale obtenue sera de 1 / 3 de l’aire du disque:

spiral of archimedes

Et aussi, l’aire d’une sphère est égale à 4 fois l’aire délimitée par son grand cercle (pour mémoire, le grand cercle d’une sphère est celui qui coupe le sphère en son milieu)

Donc si nous avons une sphère de rayon 1, l’aire de son grand cercle est  (Tau .1²) /8  et l’aire de la sphère est Tau/2 (ou PI).

Donc si nous avons une sphère de diamètre 1, l’aire de son grand cercle est PI * (0.5²)=PI/4, et l’aire de la sphère est PI.

Alors maintenant que nous savons qu’un cercle de diamètre 1 tient dans un triangle équilatéral de 3 de côtés, dont l’aire est de 3/4 (voir section plus haut « Relation entre un cercle et un triangle »), nous pouvons nous dire que chaque fois que nous voyons quelque part « racine carrée de… », se cache pas loin un … carré !

Alors prenons une paire de ciseaux, et découpons autour de de cette dernière figure, et plions selon les angles. Nous obtenons un prisme :

prism with sphere incript

Ajoutons un triangle au dessus pour fermer le prisme.

3 carrés de 1 de côté = 3 x 1²  =3 x 1 = 3,

+ 1 triangle en dessous = √3 /4 = 1,299038

+ 1 triangle en haut= √3 /4 = 1,299038

= 3+(2 .√3/4) = 5,598076  = (10*PI)

La spirale de Fibonacci et la spirale d’or

8.1 La spirale de carrés de Fibonacci

Un autre truc rigolo: Si on reprend notre carré de 1 de côté, et qu’on lui ajoute un autre identique à côté, on obtient un rectangle. Si on y colle un carré de 2 de côté on obtient un autre rectangle, et si on y colle un autre carré de 3 de côté on obtient encore un rectangle, etc.

Et on peut continuer à l’infini…

This section answers the question:

What is the equation of the Fibonacci spiral?

Fib polar spiralLe carrés d’ors sont montrés en rouge ici, les axes en bleu, et tous les points des carrés passent par les lignes vertes, qui passent par le point d’origine (0,0).

Aussi les axes (en bleu) et les lignes vertes sont séparées entre elles de exactement 45°.

Le grand rectangle ABDF a exactement la même forme que CDFH, et est aussi phi fois aussi large. Aussi il a été tourné d’un quart de tour.

La même chose s’applique au rectangles CDFH et HJEF, zet à tous les rectangles d’or du diagramme

So to transform OE (on the x axis) to OC (on the y axis), and indeed any point on the spiral to another point on the spiral, we expand lengths by phi times for every rotation of 90°: that is, we change (r,theta) to (r Phi,theta + π/2) (where, as usual, we express angles in radian measure, not degrees).

So if we say E is at (1,0), then C is at (Phi,π/2), A is at (Phi2, π), and so on.
Similarly, G is at (phi,–π/2), and I is at (phi2, –π) and so on because phi = 1/Phi.

The points on the spiral are therefore summarised by:

r = Phin and theta= n π/2

If we eliminate the n in the two equations, we get a single equation that all the points on the spiral satisfy:

r = Phi2 theta / π

or

r = Mtheta where M = Phi2/π = 1.35845627…

For ordinary (cartesian) coordinates, the x values are y values are generated from the polar coordinates as follows:

x = r cos(theta)
y = r sin(theta)

which we can then use in a Spreadsheet to generate a chart as shown here.
Such spirals, where the distance from the origin is a constant to the power of the angle, are called equiangular spirals. They also have the property that a line from the origin to any point on the curve always finds (the tangent to) the curve meeting it at the same angle.
Another name is a logarithmic spiral because the angle of any point from the x axis through the origin is proportional to the logarithm of the point’s distance from the origin.

Fibonacci Spiral Fibonacci Spiral To see that the Fibonacci Spiral here is only an approximation to the (true) Golden Spiral above note that:

  • at its start there are two squares making the first rectangle but the true golden spiral above has no « start »
  • those two squares make a rectangle 1×2 but all rectangles in the true spiral are true Golden Rectangles 1xPhi.
  • All the other rectangles on the right are ratios of two neighbouring Fibonacci numbers and are therefore only approximations to Golden Rectangles

8.2 The Golden or Phi Spiral

distance between ridges on a shell expands by PhiXL Spreadsheet imageIn the spiral above, based on Fibonacci squares spiralling out from an initial two 1×1 squares, we noted that one quarter turn produces an expansion by Phi in the distance of a point on the curve from the « origin ». So in one full turn we have an expansion of Phi4.
In sea-shells, we notice an expansion of Phi in one turn, so that not only has the shell grown to Phi times as far from its origin (now buried deep inside the shell). Also, because of the properties of the golden section, we can see that the distances measured on the outside of the shell also have increased by Phi and it is often easier to measure this distance on the outside of a shell, as we see in the picture here on the left.
In this case, the equation of the curve is

r = Phi theta / (2 π) when theta is measured in radians or
r = Phi theta / 360 if theta is in degrees.

Notice that an increase in the angle theta of 2 π radians (360° or one full turn) makes r increase by a factor of Phi because the power of Phi has increased by 1.
I will call this spiral, that increases by Phi per turn, the Golden Spiral or the Phi Spiral because of this property and also because it is the one we find in nature (shells, etc.).

Click on the Spreadsheet image to open an Excel Spreadsheet to generate the Golden Spiral in a new window.

1·61803 39887 49894 84820 45868 34365 63811 77203 09179 80576 ..More.. Calculator

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